O famoso problema das três portas

Há um certo tempo atrás existia um programa na TV, cujo nome do apresentador era Monty Hall.

O programa consistia no seguinte:

Existiam três portas. Atrás de duas dessas portas existiam bodes, enquanto que em uma delas um Carro. Vamos supor que você estivesse participando desse programa e que gostaria de ganhar o carro. Você escolhia uma porta e o apresentador, sabendo o que tem atrás de cada porta, abria uma das que tinha um bode. Depois disso, ele lhe oferecia a oportunidade de trocar a porta que você escolheu pela porta que ainda continua fechada.

Com isso, surge a dúvida: É mais provável que o carro esteja na sua ou na que ele deixou? Tal problema ficou conhecido como "O problema de Monty Hall".

Bom, a resposta é que, trocando de porta, a probabilidade de você acertar o carro DOBRA de valor. Isso aparentemente é estranho, visto que "sobraram duas portas, o que significa 1/2 pra cada uma". Bom, sobre isso só podemos dizer que a intuição costuma falhar de vez em quando na matemática.

Mas então por que diabos a probabilidade dobra quando trocamos? Vamos lá.

São três portas quando você escolhe a sua. Portanto, sua probabilidade de acertar o carro na primeira jogada é de 1/3. Bom, o apresentador do programa abre uma das portas - mas sua probabilidade de acertar continua 1/3, pois ele apenas abriu, não te ofereceu a oportunidade de trocar (e mesmo quando ele oferecer nada irá mudar, mas isso foi escrito com o fim de simplificar ao máximo a explicação). Bom, de fato, se a probabilidade de o carro estar na sua porta é de 1/3; enquanto que de estar na porta que o apresentador abriu é nula, só podemos dizer que a probabilidade de estar na outra é de 2/3. (pois 2/3 + 1/3 = 1 (100%).

Bom, mas ele te oferece a oportunidade de trocar, e isso que confunde a maioria das pessoas. Mas você não deve pensar que uma porta foi eliminada, pois isso não aconteceu. Na verdade ele abriu uma das portas só depois que você escolheu a sua. Sua probabilidade inicial permanecerá do mesmo jeito.

O que acontece aqui pode ser dito como "Continue com a sua porta e terás aberto apenas uma", "Troque e terás aberto duas". É exatamente isso que acontece. Trocando de porta, é como se você tivesse a chance de ter aberto duas portas, enquanto que continuando com a sua, uma só (pois ele abriu uma delas somente depois que você escolheu a sua).

Imagine a seguinte situação: ao invés de 3 portas, o apresentador lhe oferece 1.000.000 portas. Sendo 999.999 bodes e 1 carro. Você escolhe uma das 1.000.000 portas e o apresentador abre 999.998 portas, deixando apenas a que você escolheu e uma outra. Você acha mais provável estar na sua ou na que ele deixou? Chances de estar na sua: 0,0001%. Chances de estar na outra: 99,9999%.

Quando levei esse problema pra minha sala, houve a maior polêmica. Praticamente todo mundo da sala discordando de mim (dizendo que a probabilidade é 1/2). Até cheguei a pensar num possível erro do autor da resolução desse problema. Mas recuperei o bom-senso logo depois de ver a seguinte frase do Copérnico:

"Verdades matemáticas não devem ser julgadas senão por matemáticos."